直觉在认识事物中具有重要作用，但它主要不是作为抽象思维的辅助工具去沟通推理的渐进步骤，而是给人的智慧插上幻想的翅膀，直接跳跃和飞翔到最普遍的原则和最高的公理上去。
它在认识活动中具有这样的作用：直觉使人直接反映事物的本质；直觉使人的认识出现了创造性；直觉使人扩大了认识的空间。
一般说来，幻想、想象、形象、潜意识常常是直觉过程的准备与运行阶段，是诱发新思想的直觉形式，而灵感、启示则往往是直觉过程的形式和闪现阶段，是获得新思想产生结果的直觉形式，这种相对独立的直觉活动，有时会作出人们意料不到的创造性设想。
柏拉图注意为什么会对数学有影响？
古希腊哲学家往往同时是数学家。欧几里德常出现在苏格拉底的对话录中。有一个哲学流派就是认为数是宇宙间的和谐，把它对应进生活可以得到生活的和谐。而且好象记得立方体的体积求法就是苏格拉底求证得到的。
（苏格拉底是柏拉图的老师。柏拉图的文章主要是对苏格拉底思想的整理，并以苏格拉底的对话录形式表现。）
公理化方法的公理证明
庞卡莱为证明罗氏几何的相容性，在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型．即在欧氏平面上划一条直线a将其分成上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任一长为半径的半圆周作为罗氏几何的直线，然后对如此规定的罗氏几何元素一一验证罗氏平行公理是成立的．
如图4—3所示，过罗氏平面上任一罗氏直线l外的一点P，确实可以作出两条罗氏直线与l平行．因为欧氏直线a上的点不是罗氏几何系统的元素，所以两个半圆相交于直线a上某一点则应看作相交于无穷远点，从而在有穷范围内永不相交．
这样以来，如果罗氏系统在今后的展开中出现了正、反两个互相矛盾的命题的话，则只要按上述规定之几何元素间的对应关系进行翻译，立即成为互相矛盾的两个欧氏几何定理．从而欧氏系统就矛盾了．因此，只要承认欧氏系统是无矛盾的，那么罗氏系统一定也是相容的．这就把罗氏系统的相容性证明通过上述庞卡莱模型化归为欧氏系统的相容性证明．这种把一个公理系统的相容性证明化归为另一个看上去比较可靠的公理系统的相容性证明，或者说依靠一个数学系统的无矛盾性来保证另一个数学系统的协调性叫做数学系统的相对相容性证明． 由于相对相容性的出现，使人们对欧氏系统的相容性也忧心重重．而更糟的是，在罗氏系统的展开中人们又发现，罗氏几何空间的极限球面上也可构造欧氏模型，即欧氏几何的全部公理能在罗氏的极限球上实现，于是欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证！这说明欧氏与罗氏的公理系统虽然不同，但却是互为相容的．人们当然不满足于两者互相之间的相对相容性证明，因为看上去较为合理的欧氏系统的无矛盾性竟要由看上去很不合理的罗氏系统来保证，这是难以令人满意的．于是人们开始寻求直接的相容性证明，本世纪初数学基础论就诞生了．由于在这一工作中所持的基本观点不同，在数学基础论的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派和形式公理学派三大流派．这些流派虽然并未最后解决相容性证明问题，但在方法论上却各有贡献，他们的方法论、思想方法对于数学的研究与发展都具有重要的意义，有些还值得进一步分析、探讨、继承和发展．